სილაბუსები

გაკვეთილის გეგმა

გაკვეთილის თემა	გრაფი, უნიკურსალური გრაფი
სწავლების საფეხური, კლასი	საბაზო, IX კლასი
ინტეგრირებული საგნები მაწავლებლების სახელი, გვარი	საგნები:	მასწავლებლის სახელი, გვარი
	მათემატიკა	როინ ნაკაიძე
	გეოგრაფია
მოსწავლეთა პროფილი	6
განსაკუთრებული მიდგომების საჭიროებების მქონე მოსწავლეთა რაოდენობა	არ არის
გაკვეთილის მიზნები და შედეგები ( საგნების მიხედვით)	მათემატიკა: მოსწავლემ შეძლოს სიდიდეებს შორის დამოკიდებულების გრაფის გამოსახვა, გამოსახვის ერთი ფორმიდან მეორეზე გადასვლა, უნიკურსალურობის პირობების მიგნება / დადგენა, ოპტიმალური მარშრუტის მოსაძებნად გრაფების გამოყენების ჩვევების დაუფლება. ისტ: მოსწავლემ შეძლოს მოძიება, მომზადება, პრეზენტაცია ისტ – ის საშუალებით გეოგრაფია: მოსწავლემ შეძლოს: თავისი რეგიონის ადმინისტრაციული ცენტრების, თავისი რაიონის ტერიტორიაზე არსებული ისტორიული ძეგლების მდებარეობის განსაზღვრა, რუკის გამოყენება, სხვადასხვა სირთულის ნახაზის შექმნა, მსჯელობა ექსპედიციაზე, მის განხორციელებაზე, არსებული სიტუაციის გაუმჯობესებაზე. შედეგები: მოსწავლეები გრაფის საშუალებით წარმოადგენენ: თავის რეგიონს – აჭარას; თავისი რაიონის – შუახევის შემადგენლობაში შემავალი ისტორიული ძეგლების გეოგრაფიულ მდებარეობას. უნიკურსალურობის პირობით წარმოადგენენ ოპტიმალურ მარშრუტებს. იმსჯელებენ პრობლემებზე და მათი გადაჭრის / გაუმჯობესების გზებზე.
ეროვნული სასწავლო გეგმით განსაზღვრული მისაღწევი შედეგები და ინდიკატორები	მათ. IX . 5 . პრობლემის გადაჭრისას იყენებს დისკრეტული მათემატიკის ელემენტებს ერთი ნიშნით ოპტიმალური მარშრუტის მოსაძებნად იყენებს გრაფებს მათ. IX . 11 . აწესრიგებს და წარმოადგენს მონაცემებს დასმული ამოცანის ამოსახსნელად ხელსაყრელი ფორმით ერთი გრაფიკული ფორმით წარმოდგენილ მონაცემებს წარმოადგენს განსხვავებული ფორმით და წარმოაჩენს თითოეული ფორმის ხელსაყრელ და არა ხელსაყრელ მხარეებს გეო. IX . 9. მოსწავლე აანალიზებს საქართველოში მეურნეობის სტრატეგიულ დარგებს და მათი განვითარების პერსპექტივებს კონტურულ რუკაზე დააქვს მნიშვნელოვანი სატრანსპორტო კვანძები და მაგისტრალები; ირჩევს ერთ – ერთ რაიონს და მსჯელობს ტურიზმის განვითარებაზე; გეო. IX . 1. მოსწავლე რუკებისა და სხვა გეოგრაფიული საშუალებების ( ფოტოები, გრაფიკები, ცხრილები, დიაგრამები და სხვა) დახმარებით ახასიათებს ადგილს, მოვლენასა და პროცესებს; ადგენს თემატურ რუკებს. აანალიზებს რუკების საშუალებით წარმოდგნილ გეოგრაფიულ ინფორმაციას; შეუძლია ერთ საშუალებაზე მოცემული ინფორმაციის სხვა ფორმატში გამოსახვა ჯგუფში მუშაობისას ირჩევს რომელიმე ისტორიულ – გეოგრაფიულ პროვინციას / რეგიონს ექსპედიციის ჩასატარებლად და კლასის წინაშე წარმოადგენს მისი განხორციელების გეგმას ( მიზანი, მარშრუტი, არჩეული მარშრუტის უპირატესობა სხვებთან შედარებით) ; ადგენს ექსპედიციის ამსახველ სქემატურ გეგმას. ისტ: კომუნიკაცია ტექნოლოგიური საშუალებებით იყენებს განსხვავებულ ფორმატს მის მიერ შეჯამებული ინფორმაციის გადმოსაცემად ისტ: კვლევის ტექნოლოგიური საშუალებები იყენებს ისტ – ის საშუალებებს ( მაგ. საძიებო სისტემა ) ინფორმაციის მიღების, მოპოვების, გაცვლის მიზნით; მათი შემდგომი შეფასების და ანალიზისთვის; ამზადებს ნამუშევარს ელექტრონულ ფორმატში
რესურსები	სახელმძღვანელო : გოგიშვილი, ვეფხვაძე, ქურჩიშვილი, მებონია; ფურცლები, მარკერები; საქართველოს ადმინისტრაციული – ტერიტორიული რუკა; აჭარის სქემატური რუკა; ქ. კენიგსბერგის / ხიდების სურათები; ქალაქის და მდინარის ურთიერთ მდებარეობის გეომეტრიული მოდელი; შუახევის რაიონში შემავალი ისტორიული ძეგლების სურათები; კომპიუტერი 6, პროექტორი.
აუცილებელი წინა ცოდნა	კომპიუტერული პროგრამები: Vue, PowerPoint
გაკვეთილის სტრუქტურული ერთეულები	A ფაზა – მოლოდინის განსაზღვრა / გამოწვევა აქტივობა I მისალმება / მოთელვა / ორგანიზება / 2 წთ / აქტივობა II მიზნების და შეფასების კრიტერიუმების გაცნობა / 2 წთ / აქტივობა III გონებრივი იერიში ( ფუნქციის მოცემის რა ხერხებს იცნობთ? რა ფიგურაა გრაფი? წარმოადგინეთ გეომეტრიული მოდელი. წყვილებში შეადგინეთ ცნების რუკა სიტყვაზე „ გრაფი“ ( Vue პროგრამაში) . სიტყვა „ გრაფი“ – ს შემადგენელი ელემენტების თვისებრივი განსაზღვრა / ანალიზი / 4 წთ / აქტივობა IV კითხვა – მონიტორზე რა იცით ან რა გგონიათ, რომ იცით უნიკურსალური გრაფის შესახებ ? ( ბავშვების ნააზრევს დაფაზე ვაფიქსირებ კომენტარის და შეფასების გარეშე) / 2 წთ / B ფაზა – ცოდნის კონსტრუირება / შინაარსის რეალიზება შენიშვნა: კლასს ვყოფ ორ ჯგუფად, ისე, რომ ყოველ ჯგუფში აზროვნების თანაბარი დონე იყოს და ვაძლევ ჯგუფში მუშაობის შესახებ შესაბამის ინსტრუქციას. აქტივობა V მათემატიკა: მოსაძიებლად მიცემული მასალის განხილვა ( ცნობები ეილერის მოღვაწეობის / მიღწევების შესახებ; ეილერის როლი გრაფთა თეორიაში ) დისკუსია / 2 წთ / გეოგრაფია: მასწავლებელი ატარებს მინი ლექციას ქალაქ კენიგსბერგის გეოგრაფიულ მდებარეობაზე ( ძირითადი ყურადღება ექცევა ქალაქში გამავალი მდინარის და ხიდების მდებარეობას; პროექტორის საშუალებით აჩვენებს შესაბამის სურათებს) , დასვამს კენიგსბერგის მოსახლეობის ძირითად პრობლემას. / 3 წთ / მათემატიკა: ვაჩვენებ ისტ – ის საშუალებით ქალაქ კენიგსბერგში მდებარე ხიდების განლაგების გეომეტრიულ მოდელს ამოცანა 1 ( ჯგუფური ) ქალაქ კენიგსბერგის გეომეტრიული მოდელის მიხედვით შეადგინეთ ცხრილი და შესაბამისი გრაფი ( Vue, PowerPoint ან სხვ. პროგრამაში ) ჩამოაყალიბეთ ამოცანა მათემატიკურად; დასვით პრობლემა: იმსჯელეთ პრობლემის გადაჭრის გზებზე; პრეზენტაცია ( ისტ – ის გამოყენებით) , დისკუსია / 5 წთ / აქტივობა VI გეოგრაფია: მოსწავლეები საქართველოს რუკაზე აჩვენებენ აჭარას; მოიძიებენაჭარის გეოგრაფიულ რუკას ისტ – ის საშუალებით; ( კითხვები: განსაზღვრეთ აჭარის ადმინისტრაციულ – ტერიტორიული შემადგენლობა; კონტურულ რუკაზე დაიტანეთ აჭარის ადმინისტრაციული რაიონები; ამ რაიონის მნიშვნელოვანი სატრანსპორტო კვანძები და მაგისტრალები; იმსჯელეთ და შეაფასეთ რამდენად ხელსაყრელია აჭარის სტრატეგიულ – გეოგრაფიული მდებარეობა; შეაფასეთ აჭარის რეკრეატიული პოტენციალური შესაძლებლობა და შექმენი შენი ტურისტული სააგენტო ) დისკუსია / 4 წთ / მათემატიკა: ამოცანა 2 . (ჯგუფური) რუკის მიხედვით შეადგინეთ აჭარის ადმინისტრაციულ ტერიტორიული შემადგენლობის შესაბამისი გრაფი, ამოცანის პირობა ჩამოაყალიბეთ მათემატიკურად. დასვით პრობლემა აჭარის ადმინისტრაციული რაიონების დამაკავშირებელი გზების შესახებ; იმსჯელეთ და დაასახელეთ პრობლემის გადასაჭრელი გზები; პრეზენტაცია ( ისტ– ის გამოყენებით) დისკუსია / 5 წთ / აქტივობაVII გეოგრაფია – კითხვები : აჭარის სქემატურ რუკაზე აჩვენეთ და ჩამოთვალეთ შენს რაიონში შემავალი სოფლები და დაასახელეთ ამ სოფლებში მდებარე ისტორიული ძეგლები. ( მაწავლებელი აჩვენებს სურათებს ) ; ფურცელზე დაიტანეთ ისტორიული ძეგლების დათვალიერების მარშრუტი და შეარჩიეთ თქვენი ტურისტული სააგენტოს რეკლამა; დისკუსია / 3 წთ / მათემატიკა: ამოცანა 3 ( ჯგუფური) ჩამოაყალიბეთ ამოცანა მათემატიკურად; გამოყავით პირობა და კითხვა; შეისწავლეთ მიღებული გრაფის თვისებები; ხომ არ შეიტანთ რაიმე ცვლილებას ( მაგ. გზის დამატება); წარმოადგინეთ ასეთი ცვლილებით მიღებული გრაფი; იმსჯელეთ პრაქტიკაში მისი განხორციელების შესაძლებლობებზე, დადებით და უარყოფით მახასიათებლებზე / 3 წთ / შენიშვნა : ყოველი ამოცანის პრეზენტაციის შემდეგ გაიმართება დისკუსია ჯგუფებს შორის, მასწავლებელსა და მოსწავლეებს შორის; მოსწავლეები გააკეთებენ ოპტიმალური მარშრუტით შედგენილი გრაფის ელემენტების თვისებრივ ანალიზს; ეტაპობრივად შეავსებენ და სამივე ამოცანის შესაბამისი გრაფის თვისებებს წარმოადგენენ ერთი ცხრილით ( ფურცლებზე და Vue, PowerPoint ან სხვ. პროგრამაში ) აქტივობაVIII მოსწავლეები გააკეთებენ ცხრილის ანალიზს და სამივე გრაფის თვისებების საფუძველზე გამოიტანენ სავარაუდო დასკვნას. მოსწავლეებს ( წყვილებში) წავაკითხებ სახელმძღვანელოში განთავსებულ უნიკურსალურობის განსაზღვრებას, ეილერის უნიკურსალურობის პირობებს, გადმოცემენ თავისი სიტყვებით, გაავლებენ პარალელს მათ დასკვნებსა და ეილერის პირობებს შორის. / 4 წთ. / C ფაზა – გამთლიანება / რეფლექსია აქტივობა IX შეჯამება – კითხვები : ჩამოთვალეთ გაკვეთილზე განხილული ამოცანები; რომელი გეომეტრიული მოდელით მოახდინეთ თითოეული ამოცანის განხილვა / პრეზენტაცია; რა პრობლემა დაისვა თითოეულ შემთხვევაში; როგორ შეიძლება პრობლემის გადაჭრა; როგორი თვისებებით ხასიათდება უნიკურსალური გრაფი; გააკეთეთ დაფაზე ჩამოწერილი ნააზრევის – სიტყვების ანალიზი / 2 წთ / აქტივობა IX 1 . საშინაო დავალება # 32 –ის ა) და ბ) სახელძღვანელოდან; 2 . მოიძიონ ინფორმაცია აჭარის ტერიტორიაზე – მდინარე აჭარისწყლის მონაკვეთზე განლაგებული ხიდების შესახებ. შეაფასონ მათი მნიშვნელობა, შეადგინონ შესაბამისი გრაფი, შეამოწმონ უნიკურსალურობის პირობა, უარყოფითი შედეგის შემთხვევაში დაამატონ ოპტიმალური გზა.
შეფასება	მოსწავლეთა შეფასებისათვის ვიყენებ გაკვეთილზე ჩართულობის განმსაზღვრელ შეფასების სქემას.

გაკვეთილის გეგმა

გაკვეთილის თემა		გეომეტრიული გარდაქმნების სხვადასხვა გამოყენება
სწავლების საფეხური, კლასი		საბაზო, IX კლასი
საგანი	მათემატიკა
მასწავლებლის სახელი, გვარი	როინ ნაკაიძე
მოსწავლეთა პროფილი		6
განსაკუთრებული მიდგომების საჭიროებების მქონე მოსწავლეთა რაოდენობა		არ არის
გაკვეთილის მიზნები და შედეგები ( საგნების მიხედვით)		მათემატიკა:        1. მოსწავლემ შეძლოს ზოგიერთი გეომეტრიული (ცენტრული, ღერძული სიმეტრიების, პარალელური გადატანის) გამოყენება.        2. ამ გარდაქმნების საპროექტოამოცანებში გამოყენების გაცნობით მოსწავლემ გაიფართოვოს თვალსაწიერი, წარმოდგენა იქონიოს და თავად გახდეს შემოქმედი გეომეტრიული გარდაქმნების კვლევისას. ისტ: მოსწავლემ შეძლოს მოძიება, მომზადება, პრეზენტაცია ისტ – ის საშუალებით შედეგები:       1. მოსწავლეები აგებენ ამოცანის მათემატიკურ მოდელს.        2. იყენებენ მათემატიკურ სიმულაციებს.        3. დაუკავშირებენ სხვადასხვა პრაქტიკულ ამოცანებს.       4. იმსჯელებენ პრობლემებზე და მათი გადაჭრის გაუმჯობესების გზებზე.
ეროვნული სასწავლო გეგმით განსაზღვრული მისაღწევი შედეგები და ინდიკატორები		მათ. IX . 9 . იკვლევს დაიყენებს გეომეტრიულ გარდაქმნებს და მათ კომპოზიციებს        ·  მსჯელობს თუ რა გეომეტრიული გარდაქმნა შეიძლება იყოს მოცემული ორი გეომეტრიული გარდაქმნის კომპოზიცია; ასაბუთებს თავის მოსაზრებას.        · ფიგურების შესახებ სხვადასხვა მონაცემების საფუძველზე გამოთქვამს ვარაუდს იმის შესახებ შეიძლება თუ არა, ერთი ფიგურის მოცემული გარდაქმნით მეორე ფიგურის მიღება. ისტ: კომუნიკაცია ტექნოლოგიური საშუალებებით იყენებს განსხვავებულ ფორმატს მის მიერ შეჯამებული ინფორმაციის გადმოსაცემად ისტ: კვლევის ტექნოლოგიური საშუალებები იყენებს ისტ – ის საშუალებებს ( მაგ. საძიებო სისტემა ) ინფორმაციის მიღების, მოპოვების, გაცვლის მიზნით; მათი შემდგომი შეფასების და ანალიზისთვის; ამზადებს ნამუშევარს ელექტრონულ ფორმატში
რესურსები		სახელმძღვანელო : გოგიშვილი, ვეფხვაძე, ქურჩიშვილი, მებონია; 3 კომპიუტერი , პროექტორი.
აუცილებელი წინა ცოდნა		ცენტრული და ღერძული სიმეტრია, პარალელური გადატანა, კომპიუტერული პროგრამები: Vue, PowerPoint, geogebra.
გაკვეთილის სტრუქტურული ერთეულები		A ფაზა – მოლოდინის განსაზღვრა / გამოწვევა აქტივობა I მისალმება / მოთელვა / ორგანიზება / 2 წთ / აქტივობა II მიზნების და შეფასების კრიტერიუმების გაცნობა / 2 წთ / აქტივობა III გონებრივი იერიში რა არის ცენტრული სიმეტრია? რა არის ღერძული სიმეტრია? რა არის პარალელური გადატანა? / 3 წთ / აქტივობა IV მინი ლექცია პრეზენტაცია პროექტორის გამოყენებით ჩვენება იმისა თუ სად შეიძლება გამოვიყენოთ გეომეტრიული გარდაქმნები. ( ბავშვების ნააზრევს დაფაზე ვაფიქსირებ კომენტარის და შეფასების გარეშე) / 3 წთ / B ფაზა – ცოდნის კონსტრუირება / შინაარსის რეალიზება შენიშვნა: კლასს ვყოფ ორ ჯგუფად, ისე, რომ ყოველ ჯგუფში აზროვნების თანაბარი დონე იყოს და ვაძლევ ჯგუფში მუშაობის შესახებ შესაბამის ინსტრუქციას. აქტივობა V მონიტორზე ვაჩვენებ ამოცანას: ორი დასახლებული პუნქტი გზის ერთ მხარესაა. რა ადგილას უნდა შევარჩიოთ გზაზე ავტობუსის გაჩერება, რომ დასახლებული პუნქტები ამ გაჩერების გავლით ერთმანეთს უმოკლესი გზით დაუკავშირდეს? მოსწავლეებს ვთხოვ ჩამოაყალიბონ ამოცანა მათემატიკურად; დასვან პრობლემა: იმსჯელონ პრობლემის გადაჭრის გზებზე; / 5 წთ / პრეზენტაცია, დისკუსია / 5 წთ / აქტივობა VI GEOGEBRA–ში წინასწარ მომზადებული მათემატიკური სიმულაციების დახმარებით შევეცდები მოსწავლეები დავარწმუნო დისკუსიის დროს წამოჭრილი ჭეშმარიტების სისწორეში. ვხსნით ამოცანას გეომეტრიული გარდაქმნების გამოყენებით. იმსჯელონ პრაქტიკაში მსგავსი ამოცანის არსებობაზე და მათი გადაჭრის გზებზე. პრეზენტაცია ( ისტ– ის გამოყენებით) დისკუსია / 5 წთ / აქტივობაVII მოსწავლეებს ვყოფ ორ ჯგუფად და თითოეულ ჯგუფს ვაძლევ მსგავს ამოცანებს / 10 წთ / შენიშვნა : ყოველი ამოცანის პრეზენტაციის შემდეგ გაიმართება დისკუსია ჯგუფებს შორის, მასწავლებელსა და მოსწავლეებს შორის; აქტივობაVIII მოსწავლეები უკეთებენ ანალიზს და სამივე ამოცანის ამოხსნის შემდეგ გამოიტანენ სავარაუდო დასკვნას. / 5 წთ/ C ფაზა – გამთლიანება / რეფლექსია აქტივობა IX შეჯამება – კითხვები : ჩამოთვალეთ გაკვეთილზე განხილული ამოცანები; რომელი გეომეტრიული მოდელით მოახდინეთ თითოეული ამოცანის განხილვა / პრეზენტაცია; რა პრობლემა დაისვა თითოეულ შემთხვევაში; როგორ შეიძლება პრობლემის გადაჭრა; გააკეთეთ დაფაზე ჩამოწერილი ნააზრევის – სიტყვების ანალიზი / 5 წთ / აქტივობა IX 1 . საშინაო დავალება §3.9 15, 9, 13 სახელძღვანელოდან; ჩვენს სინამდვილეში მოიფიქრონ რაიმე ამოცანა ოპტიმალური გზის ან მარშრუტის საპოვნელად.
შეფასება		მოსწავლეთა შეფასებისათვის ვიყენებ გაკვეთილზე ჩართულობის განმსაზღვრელ შეფასების სქემას.

ინტეგრირებული გაკვეთილი მათემატიკაში, ინფორმატიკასა და ისტ-ში

ჩავატარე ინტეგრირებული გაკვეთილი მათემატიკაში, ეკონომიკაში და ისტ-ში:

გაკვეთილის      სათაური

მარტივი და რთული პროცენტის დარიცხვის წესები. მაჩვენებლიანი ფუნქცია.  (გეგმა)

გაკვეთილის თემა	მარტივი და რთული პროცენტის დარიცხვის წესები. მაჩვენებლიანი ფუნქცია.
სწავლების საფეხური და კლასი	მესამე საფეხური (საბაზო)_ XI კლასი
ინტეგრირებული საგნები, მასწავლებლის სახელი და გვარი	მათემატიკა_,   ეკონომიკა _  და  ისტ
მოსწავლეთა რაოდენობა	3 მოსწავლე
განსაკუთრებული მიდგომების,  საჭიროების მქონე მოსწავლეთა და პროფილი	0
გაკვეთილის საწავლო  მიზნები(საგნების მიხედვით)	მოსწავლეთა გარკვევა ბანკში ანაბარზე სარგებლის (დივიდენდის) დარიცხვის ზოგიერთ წესში. სარგებლის დარიცხვის სხვადასხვა წესს შორის არჩევანის გაკეთებისას სწორი ანალიზის უნარის გამომუშავება. სხვადასხვა ბანკის მიერ შემოთავაზებული წინადადებების შედარებითი ანალიზის უნარ_ჩვევების გამომუშავება. კერძო შემთხვევის განზოგადების ჩვევების გამომუშავება                 y = 2x     ფუნქციის თვისებების შესწავლის საფუძველზე                                                                                                                                               გამოვთქვამთ ვარაუდებს და ვაკეთებთ დასკვნებს y =ax,  a > 1, ფუნქციის თვისებების შესახებ. შემდგომ კი, შედარების                                                                                                                    მეთოდის გამოყენებით, ვახასიათებთ y= ax  , 0  < a < 1,   ფუნქციასაც.
ეროვნული სასწავლო გეგმით განსაზღვრული მისაღწევი შედეგი/ინდიკატორები	მოსწავლე მსჯელობს კონკრეტულ საკითხებზე და წარმოადგენს საკუთარ თვალსაზრისს აუდიტორიის წინაშე.  სვამს კონკრეტულ საკითხს და ისმენს სხვების აზრს ამ საკითხთან დაკავშირებით; მსჯელობს სათანადო არგუმენტაციის მოხმობით და თანამიმდევრულად ავითარებს თავის მოსაზრებებს.            მსჯელობიდან გამოაქვს ადეკვატური დასკვნა; ისმენს ან თავად გამოთქვამს საკითხის გადაჭრის არტერნატიულ ვარიანტებს, გამოკვეთს საკუთარ თვალსაზრისს და არგუმენტებს ; რიცხვის პროცენტის გამოთვლა; ფუნქციის თვისებების გარჩევა, კერძოდ მოსწავლეს უნდა შეეძლოს ფუნქციის ზრდადობა_კლებადობის შემოწმება; საკოორდინატო ღერძებთან გრაფიკის გადაკვეთის წერტილების დადგენა; ინდუქციური მსჯელობის ელემენტარული ჩვევები; იყენებს ფუნქციებსა და მათ თვისებებს რეალური ვითარების მოდელირებისას და მის შესასწავლად  იყენებს გრაფიკულ, ალგებრულ მეთოდებს ან/და ტექნოლოგიებს ფუნქციის / ფუნქციათა ოჯახის თვისებების შესასწავლად/  იყენებს დისკრეტული მათემატიკის ცნებებსა და აპარატს მოდელირებისას და პრობლემების გადაჭრისას იყენებს გრაფიკულ, ალგებრულ მეთოდებს ან/და ტექნოლოგიებს ფუნქციის/ ფუნქციათა ოჯახის თვისებების შესასწავლად შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: იყენებს ფუნქციის გრაფიკის გეომეტრიულ ნიშნებს (საკოორდინატო ღერძის პარალელური წრფის მიმართ სიმეტრიულობა, კოორდინატთა სათავის მიმართ ცენტრულად სიმეტრიულობა, პარალელური გადატანის მიმართ სიმეტრიულობა) ფუნქციის თვისებების დასადგენად. იყენებს შესაფერის გრაფიკულ, ალგებრულ მეთოდებს ან ტექნოლოგიებს (ტრიგონომეტრიული, უბან-უბან წრფივი, საფეხურებრივი, მაჩვენებლიანი, ლოგარითმული) ფუნქციის ისეთი თვისებების დასადგენად, როგორიცაა: ზრდადობა/კლებადობა, ნიშანმუდმივობა, პერიოდულობა/პერიოდი, ფესვები, ექსტრემუმები. აღწერს თუ რა გავლენას ახდენს ფუნქციის პარამეტრების ცვლილება ფუნქციის გრაფიკზე. დებულებების დამტკიცებისას, შესაბამის შემთხვევებში, იყენებს მათემატიკურ ინდუქციას (მათ შორის არითმეტიკულ/გეომეტრიულ პროგრესიასთან დაკავშირებული ზოგიერთი ფორმულის მისაღებად). იყენებს ხისებრ დიაგრამებს ან/და გრაფებს ვარიანტების დასათვლელად, გეგმის/განრიგის შესადგენად, ოპტიმიზაციის დისკრეტული ამოცანების ამოსახსნელად: შინაარსი 1. ტრიგონომეტრიული, უბან-უბან წრფივი, საფეხურებრივი, მაჩვენებლიანი, ლოგარითმული ფუნქციები: განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე; ნულები, მაქსიმუმები და მინიმუმები; ზრდადობის/კლებადობის და ნიშანმუდმივობის შუალედები. 2. ფუნქციის პერიოდულობა და პერიოდი. 3. ფუნქციის გრაფიკის გეომეტრიული თვისებები. 4. წრფივი პროგრამირების ამოცანები სიბრტყეზე. 5. მათემატიკური ინდუქცია და მისი გამოყენება რეკურენტული წესით მოცემული რიცხვითი მიმდევრობის ზოგადი წევრის ფორმულის მისაღებად (მაგ. არითმეტიკული/გეომეტრიული პროგრესია). განმარტავს რთული და მარტივი პროცენტის  დარიცხვის წესს; აყალიბებს დივიდენდის ცნებას; ასახელებს  მაგალითებს ამ საკითხებზე; ანსხვავებენ ერთმანეთისაგან მოგების ნორმასა და რეალურ სარგებელს; განმარტავენ  კავშირს  ბანკებისა და შემნახველი დაწესებულებების მიერ შემთავაზებული მოგების ნორმის ცვლილებასა და  ეკონომიური პირობების ცვლილებას შორის.
თანმიმდევრობა(აქტივო ბა და დრო)	გაკვეთილი   ტარდება  კომპიუტერულ ლაბორატორიაში. მასწავლებელი წინასწარ აგვარებს საორგანიზაციო საკითხებს:         1.              კლასი დაიყოფა სამ ჯგუფად:               სასურველია მასწავლებელმა წინასწარ მოამზადოს სკოლასთან უახლოესი ან რაიმე სხვა ბანკის (ან ბანკების) რამდენიმე სარეკლამო პროსპექტი და სარგებლის დარიცხვის სხვადასხვა წესის აღწერა ამ თვალსაჩინო მასალის დახმარებით აწარმოოს.               მნიშვნელოვანია, რომ მოსწავლეებმა იგრძნონ თემის აქტუალობა. ამ შემთხვევაში მასალის გაცნობა კლასის აქტიური მონაწილეობით გაგრძელდება.               მოსწავლეებს წარვუდგენთ სარგებლის დარიცხვის ორ წესს _ მარტივი პროცენტის, ვთქვათ, წლიური 10% _იანი სარგებლის დარიცხვის წესსა  და  რთული პროცენტის, ვთქვათ, 9%_იანი სარგებლის წესს.               მოსწავლეთა უშუალო მონაწილეობით შევავსებთ ცხრილს (ვიყენებთ კალკულატორებს): ვთქვათ, ბანკში შეტანილია 100 ლარი. n n  წლის შემდეგ მიღებული სარგებელი (ლარებში) მარტივი პროცენტის დარიცხვის წესის შემთხვევაში რთული პროცენტის დარიცხვის შემთხვევაში 1 10 9 2 20 18,81 3 30 ≈ 29,50 4 40 ≈41,16                  ცხრილის გაანალიზების შემდეგ (მოსწავლეთა ყურადღებას ვამახვილებთ სარგებლის ზრდის განსხვავებულ ,,სიჩქარეებზე“) განვიხილავთ ზოგად შემთხვევას _ დარიცხვას   r   ნაწილით    და  ვიშველიებთ სახელმძღვანელოში მოყვანილ ცხრილს. წლები თანხა 0 P 1 P1= P (1+ r )                                                                          2                                                                                              P2= P1(1+ r )= P(1+ r ) (1+ r )= P(1+ r )2 3                                                                                  P3= P2(1+ r )= P(1+ r )2 (1+ r )= P(1+ r )3 .... ...... n                              Pn= P2(1+ r )n ამ გზით დავასკვნით _ მარტივი  პროცენტის დარიცხვის შემთხვევაში სარგებელთა მიმდევრობა (წლების მატებისას)   ქმნის არითმეტიკულ პროგრესიას, რთული პროცენტის დარიცხვის შემთხვევაში _ გეომეტრიულ პროგრესიას. ამ მიმდევრობათა   n _ური წევრის ფორმულებია, შესაბამისად,                                                                                   Pn= P(1+ r n )  და       Pn= P(1+ r ) n .         კვლავ  მოვიშველიოთ სახელმძღვანელო და გავრჩიოთ ერთ საკოორდინატო სიბრტყეზე აგებული :                                                      y= 1+x     და     y= 2x      ფუნქციათა გრაფიკები _ ვამახვილებთ მოსწავლეთა ყურადღებას:                                                y= 2 x     ფუნქციის ზრდის მაღალ ,,სიჩქარეზე“  y= 1+x      ფუნქციასთან შედარებით.  მოსწავლლები გამოთქვამენ ვარაუდს                                                                          x=  1/2                                                                               წერტილში  ამ ორი ფუნქციის მნიშვნელობათა შესახებ ( ეს წერტილი გრაფიკზე არ არის განხილული), შეადარებენ ამ მნიშვნელობებს;  იგივე კითხვის დასმა  მიზანშეწონილია   x=0    შემთხვევაშიც.    ვაზოგადებთ შემჩნეულ თვისებებს და ვიშველიებთ სახელმძღვანელოში წარმოდგენილ გრაფიკებს:        დავასკვნით:      y=ax    (a > 0,  a ≠  1)  ფუნქციას, რომელსაც მაჩვენებლიან ფუნქციას ვუწოდებთ , აქვს შემდეგი თვისებები ( დავასახელებთ მხოლოდ რამოდენიმე თვისებას) _ ა)  განსაზღვრის არეა ნამდვილ რიცხვთა   R სიმრავლე;    ბ)  მნიშვნელობათა არეა დადებით ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე;    გ) ფუნქცია ზრდადია;   დ) ფუნქციის გრაფიკი ორდინატთა ღერძს (0; 1)  წერტილში კვეთს.   მასწავლებლის რჩევით მოსწავლეები შეადარებენ                                                                      y = 2 x    და  g = ( 1/2 ) x                                      ფუნქციებს. მოსწავლეთა პასუხებში აისახება ამ ფუნქციათა ძირითადი თვისებები. ისინი პასუხობენ  მასწეავლებლის შემდეგ   შეკითხვებზე:               შეადარეთ  y (0) და g(0);               შეადარეთ y ( x ) და g(x), როცა x > 0;               შეადარეთ y ( x ) და g(x), როცა x  < 0;               შეადარეთ y ( x ) და g(-x), არის თუ არა ამ ფუნქციათა გრაფიკები ორდინატთა ღეძის მიმართ სიმეტრიული?   მოსწავლეთა ვარაუდის განხილვისა და შემოწმების დროს მოსწავლეები დაიხმარებენ სახელძღვანელოში წარმოდგენილ გრაფიკებს    და გრაფიკებს აგებენ კომპიუტერში.                                                                      ამ შედეგების   განზოგადებით, მიიღება:  y= ax    ფუნქციის  თვისებებს:               ამ ფუნქციის გასაზღვრის არეა   R  სიმრავლე;               მნიშვნელობათა არეა დადებით ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე;               ფუნქციის გრაფიკი კვეთს ორდინატთა ღერძს (0; 1) წერტილში               თუ X  <  0. მაშინ  y  > 1; თუ  X > 0, მაშინ   y                ფუნქცია კლებადია.               დისკუსიის დამთავრების შემდეგ მასწავლებელი ავალებს მოსწავლეებს, ინტერნეტში მოიძიონ მასალა საკითხის ირგვლივ, ანუ  ბანკის (ან ბანკების) რამდენიმე სარეკლამო პროსპექტი და სარგებლის დარიცხვის სხვადასხვა წესის აღწერა ამ თვალსაჩინო მასალის დახმარებით აწარმოონ.           ამ დავალებას მოსწავლეები წარმატებით ართმევენ თავს. ერთვება ეკონომიკის მასწავლებელი და მოსწავლეებს განუმარტავს: დივიდენდი_ არის კორპორაციის მოგების წილი, რომელსაც უხდიან აუქციონერებს.     ბანკების ანგარიშების უმრავლესობა მეანაბრეებს   რთული პროცენტის   დარიცხვას სთავაზობს, რთული პროცენტი_  ეს არის სარგებელი, გამოთვლილ ანგარიშზე მოთავსებული თქვენი ანაბრის თანხიდან (თავნიდან), პლუს დროის თანაბარი ინტერვალების შემდეგ დარიცხული სარგებელი, თუ, რა თქმა უნდა, მას ანგარიშზე დატოვებთ. დავუშვათ, დღეს  ანგარიშზე შეგაქვთ1000 დოლარი და ღებულობთ წლიურ     5_პროცენტიან სარგებელს. ასეთ შემთხვევაში, წლის ბოლოსსათვის ანგარიშზე 1050 დოლარიგექნებათ. შემდეგი წლის განმავლობაში კი თქვენ მიიღებთ სარგებელს  თქვენი თავდაპირველი  1000 დოლარიდან და იმ 50_ დოლარიანი სარგებლიდან, რომელიც თქვენ პირველ წელს დაგერიცხათ. ორი წლის თავზე თქვენი თავდაპირველი 1000_დოლარიანი  დანაზოგი გაიზრდება, ანუ  სარგებელი  დაერიცხება და 1   102,50  დოლარი გახდება.      ბანკებისა და შემნახველი დაწესებულებების მიერ შემოთავაზებული მოგების ნორმა იცვლება ეკონომიკური პირობებისა და იმის მიხედვით, რა დროით იბარებენ ისინი თქვენს ფულს. რაც უფრო დიდი ხნით  ათავსებთ  თანხას  შემნახველ   დეპოზიტზე, მით უფრო დიდია ეს ნორმა. საჭიროა, აგრეთვე, ერთმანეთისაგან განვასხვავოთ მოგების ნორმა და რეალური სარგებელი_ მიღებული პროცენტის რეალური რაოდენობა. რეალური სარგებელი დამოკიდებულია პროცენტის დარიცხვის სიხშირეზე. თუ თქვენს ფულს პროცენტი ყოველკვარტალურად (წელიწადში ოთხჯერ) ერიცხება, იგი უფრო სწრაფად  გაიზრდება, ვიდრე იმ შემთხვევაში, თუ მას  პროცენტი მხოლოდ წელიწადში ერთხელ ერიცხება.    თქვენ ჯერ საკმაოდ ახალგაზრდა ხართ და შეგიძლიათ მშვიდად დაელოდოთ, სანამ რთული პროცენტი, წლების განმავლობაში, თქვენს სიმდიდრეს მნიშვნელოვნად არ გაზრდის. ნახაზი , რომელიც   პროექტორზეა   წარმოდგენილი   სწორედ ამის ილუსტრაციაა. იგი გვიჩვენებს,  როგორ გაიზრდებოდა თვენი სიმდიდრე, დღეში 1 დოლარს რომ ზოგავდეთ და წელიწადში 8% _ს იღებდეთ, სარგებლის ყოველდღიური  დარიცხვით. 60 წლის შემდეგ თქვენ 540 000  დოლარზე მეტი გექნებოდათ დაგროვებული! რა თქმა უნდა, უფრო მაღალი საპროცენტო განაკვეთი აძლიერებს პროცენტის დარიცხვის ეფექტს. მაგალითად, 10_პროცენტიანი წლიური საპროცენტო განაკვეტის დროს, 60 წლის თავზე 1.4 მილიონ დოლარზე მეტი გექნებოდათ დაგროვებული. აქტივობის გაფართოება_ გაღრმავება:  მიღებული ინფორმაციის განმტკიცებისა და გამოყენების ჩვევების გამომუშავების მიზნით სასურველია მოსწავლეები გაეცნონ    ს   ( ,,სხვადასხვა“ ) ნაწილში მოწოდებულ მასალას, უპასუხონ საკონტროლო კითხვებს და შეასრულონ შეთავაზებული სავარჯიშოები, რომელთა ოდენობა  ამჯერად დიდია.   სასურველია მოსწავლეთა ნაწილი მაინც დაკავდეს პარაგრაფის ბოლოს მოცემულ თემაზე პროექტის  (რეფერატის)  მომზადებით.
შეფასება	მოცემული აქტივობა ერთ_ერთი საკვანძო ეტაპია მოსწავლეთა მათემატიკური განათლების გზაზე.    ამ ფუნქციების შესწავლით მოსწავლეები მნიშვნელოვან გამოცდილებას იძენენ, საზოგადოდ, ფუნქციათა შესწავლა_გამოკვლევის რეალიზებაში. ამ აქტივობას, წმინდა თეორიული   მნიშვნელობის გარდა, უაღრესად აქტუალური გამოყენებითი მხარეც აქვს. ეს ფაქტორი   განსაკუთრებით მნიშვნელოვნად მიგვაჩნია. გაკვეთილის დასასრულს მოსწავლეებს თვითშეფასებისათვის ურიგდებათ  შეფასების ანკეტები ( სქემის სახით).                        შეფასების ანკეტა   1. სახელი:    2. გვარი:    3. რამდენად აქტიური იყავით დღეს გაკვეთილზე? 4. აქტიური ნაკლებად აქტიური პასიური როგორ შეაფასებდით საკუთარ თავს ჯგუფის მუშაობაში? როგორ შეაფასებდით მთელი ჯგუფის მუშაობას? 5. რა იყო ამ გაკვეთილზე თქვენთვის ყველაზე მნიშვნელოვანი და რატომ ? ამის შემდეგ მასწავლებელი მოსწავლეთა მიერ  თვითშეფასებისა და საკუთარი დაკვირვების შეჯერების საფუძველზე ახდენს მოსწავლეთა საბოლოო შეფასებას,
საკლასო მენეჯმენტი/საგანათლებ- ლო რესურსები	კომპიუტერი, პროექტორი, ციფრული ფოტოაპარატი, ვიდეო კამერა. საიტები:  www.google.net www.google.com www.interes.ge www.wikipedia

 გაკვეთილის გეგმა

გაკვეთილის თემა	გაკვეთილის თემა- წრფივი ოპტიმიზაციის ამოცანების ამოხსნა
სწავლების საფეხური და კლასი	მესამე საფეხური (საბაზო)_ XI კლასი
ინტეგრირებული საგნები, მასწავლებლის სახელი და გვარი	მათემატიკა- როინ ნაკაიძე,   ეკონომიკა  და  ისტ -
მოსწავლეთა რაოდენობა	3 მოსწავლე
განსაკუთრებული მიდგომების,  საჭიროების მქონე მოსწავლეთა და პროფილი	0
გაკვეთილის საწავლო  მიზნები(საგნების მიხედვით)	რეალურ ვითარებაში ამოცანის მათემატიკურ ენაზე ჩამოყალიბების უნარის განვითარება. საჭირო პარამეტრების შერჩევისა და შესაფერისი მათემატიკური მოდელის აგების უნარის განვითარება. მოდელის შეზღუდვების განსაზღვრისა და მოდელის შეფასების უნარის განვითარება. ოპტიმალური შედეგის მისაღებად სხვადასხვა პარამეტრის გათვალისწინების კომპეტენციის ჩამოყალიბება. მოსწავლეები ისწავლიან: რეალურ ვითარებასთან მიახლოებულ ამოცანებში შესაფერისი მათემატიკური ობიექტებისა და პროცედურების შერჩევას და მათ გამოყენებას. ყოველდღიურ სასაუბრო ენაზე ჩამოყალიბებული ამოცანის ალგებრულ ენაზე ჩამოყალიბებას. მიღებული მათემატიკური შედეგის ინტერპრეტაციას რეალური ვითარების კონტექსტში.
ეროვნული სასწავლო გეგმით განსაზღვრული მისაღწევი შედეგი/ინდიკატორები	მ ა თ. XI..5. იყენებს ფუნ ქციებსა და მათ თვისებებს რეალური ვითარების მოდელირებისას და მის შესასწ ავლად  იყენებს (ტრიგონომეტრიულ, უბან -უბან წრფივ , საფეხურებრივ , მაჩვენებლიან , ლოგარითმულ) ფუნქციებ ს და მათ თვისებებს რეალური პროცესების მოდელირებისას .  იყენებს სიბრტყეზე წრფივი ოპტიმიზაციის მეთოდებს რეალურ ვითარებასთან დაკავშირებულ ამოცანებში (მაგ . შეზღუდული რესურსების ეფექტიანად გამოყენების ამოცანებში) წრფივი ფუნქციის მაქსიმუმის /მინიმუმის მოძებნისას .
თანმიმდევრობა(აქტივო ბა და დრო)	ვთქვათ ქათმების ფერმაში ორი სახის საკვები გამოიყენება - ხორბალი და სიმინდის მარცვალი. სპეციალისტების მიერ განსაზღვრულია თითოეული ქათმის გამოსაკვებად ყოველდღიური რაციონი, რაც აუცილებელია მისი ნორმალური ზრდისატვის. სიმარტივის მიზნით განვიხილოთ მხოლოდ ცილები, ცხიმები და ნახშირწყლები. ვთქვათ ყოველდღიურად საჭიროა არანაკლებ C1 გრამი ცილები, C2 გრამი ცხიმები და C3 გრამი ნახშირწყლები. ამ ცხრილით წარმოდგენილია დასახელებულ ორგანულ ნაერთთა ოდენობები (გრამებში) ხორბლისა და სიმინდის მარცვალთა თითო გრამში. ცილები ცხიმები ნახშირწყლები ხორბალი A1 A2 A3 სიმინდი B1 B2 B3 ვთქვათ 1 გრამი ხორბალი P თეთრი ღირს, 1 გრამი სიმინდი Q თეთრი. როგორ დავგეგმოთ ხორბლისა და სიმინდის მარცვლის ოდენობები თითოეული ქათმისთვის, რომ რაც შეიძლება იაფი იყოს საკვები, რომელიც მითითებულ ორგანულ ნაერთთა საკმარის ოდენობებს შეიცავს?  ამოცანაში წარმოდგენილი სიდიდეები მოვძებნოთ იტერნეტში. ამ ამოცანის მათემატიკური მოდელი წრფივ დაპროგრამებას უკავშირდება. თუ დავუშვებთ, რომ საკვები X  გრამ ხორბლის მარცვალსა და Y გრამ სიმინდის მარცვალს შეიცავს , მაში ამოცანის პირობის თაახმად, ქათმის დღიური ულუფის ღირებულება (თეთრებში) U=PX+QY ფორმულით გამოისახება. შეზღუდვები (პირობები, რომლებსაც X და Y უცნობები აკმაყოფილებს), ამოცანის პირობის თანახმად, წრფივ უტოლობათა სისტემით მოიცემა:               A1X+B1Y C1                    A2X+B2Y C2                    A3X+B3Y C3                X 0                Y 0 დასმული პრაქტიკული ამოცანა, რომელიც ფრინველისთვის იაფი და საკმარისი რაციონის შედგენის გამარტივებულ ვარიანტს წარმოადგენს, შეზღუდვების გათვალისწინებით  გამოსახულების მინიმუმის პოვნის ამოცანაა- ის მიეკუთვნება  წრფივი დაპროგრამბის ამოცანებს - ამოცანებს, რომლებშიც უცნობების მიმართ წრფივი გამოსახულების მიიმუმს ან მაქსიმუმს ვპოულობთ  წრფივ უტოლობათა სისტემით მოცემული შეზღუდვების პირობებში. ამ ამოცანებში, ცხადია, უცნობების რიცხვი შეიძლება 2-ზე მეტიც იყოს. დავალება წარმოიდგინეთ, რომ თქვენი ჯგუფის საქმიანობაა ბიზნესს კონსულტაციების გაწევა და ფერმერი მოვიდა თქვენთან დახმარების მისაღებად. გარდა იმისა, რომ თქვენ მას უნდა მისცეთ სწორი რჩევა, თქვენ ცდილობთ რომ ყოველ კლიენტს მკაფიოდ დაუსაბუთოთ თქვენი რჩევის სისწორე. გაკვეთილის მსვლელობა შესავალი: მოსწავლის ინტერესის გაღვივება რეალურ ვითარებასთან დაკავშირებული კონკრეტული პრობლემებით. პრობლემის გამარტივებული ვერსიების წარდგენა (რაოდენობრივი მსჯელობის საგანი, ზეპირად ამოხსნა). ძირითადი ნაწილი მსგავსი, პრობლემები, რომლეთა გადაჭრა იგივე ხერხით პრინციპულად არ ხერხდება, ალტერნატიული მეთოდების ძიება. პრობლემის შესახებ ინფორმაციისა და ცოდნის ორგანიზება (ძირითადი პარამეტრების გამოყოფა, შეზღუდვების ჩამოყალიბება, სამიზნე ფუნქციის განსაზღვრა) პრობლემის ჩამოყალიბება და გამოსახვა, მათემატიკურ ენაზე (ცვლადების აღნიშვნა სიმბოლოებით, შეზღუდვებისა გამოსახვა უტოლობების გამოყენებით, სამიზნე ფუნქციის ალგებრულად გამოსახვა) მოდელის ვიზუალიზაცია GeoGebra-ს საშუალებით. ელექტრონული ცხრილის საშუალებით მიღებული შედეგების შედარება GeoGebra-ს საშუალებით მიღებულ გრაფიკულ გამოსახულებებთან და შედეგებთან. ამოხსნის ევრისტული მეთოდის ჩამოყალიბება GeoGebra-ს საშუალებით. მიახლოებითი ამონახსნის მოძებნა. ანალოგიური პრობლემის წარდგენა და მისი გადაჭრა ელექტრონული ცხრილების გამოყენებით: მათემატიკური მოდელის გამოსახვა ელექტრონული ცხრილის საშუალებით. ამ საფეხურზე შეიძლება წინასწარ გამზადებული შაბლონის მიწოდება. მოდელის პარამეტრების ცვლილება, შედეგებზე დაკვირვება და მათი აღრიცხვა. დასკვნითი ნაწილი ამონახსნის მოძებნა ელექტრონული ცხრილის საშუალებით (Solver). მიღებული შედეგის შედარება GeoGebra-ს საშუალებით მიღებულ შედეგთან. მიღებული შედეგის განზოგადება (სიმპლექს მეთოდი). მისი შემოწმება სხვა ნიმუშზე (ფერმერის ამოცანა).
შეფასება	მოცემული აქტივობა ერთ_ერთი საკვანძო ეტაპია მოსწავლეთა მათემატიკური განათლების გზაზე.    ამ ფუნქციების შესწავლით მოსწავლეები მნიშვნელოვან გამოცდილებას იძენენ, საზოგადოდ, ფუნქციათა შესწავლა_გამოკვლევის რეალიზებაში. ამ აქტივობას, წმინდა თეორიული   მნიშვნელობის გარდა, უაღრესად აქტუალური გამოყენებითი მხარეც აქვს. ეს ფაქტორი   განსაკუთრებით მნიშვნელოვნად მიგვაჩნია. გაკვეთილის დასასრულს მოსწავლეებს თვითშეფასებისათვის ურიგდებათ  შეფასების ანკეტები ( სქემის სახით).                        შეფასების ანკეტა   1. სახელი:    2. გვარი:    3. რამდენად აქტიური იყავით დღეს გაკვეთილზე?    4. რა იყო ამ გაკვეთილზე თქვენთვის ყველაზე მნიშვნელოვანი და რატომ ? ამის შემდეგ მასწავლებელი მოსწავლეთა მიერ  თვითშეფასებისა და საკუთარი დაკვირვების შეჯერების საფუძველზე ახდენს მოსწავლეთა საბოლოო შეფასებას,
საკლასო მენეჯმენტი/საგანათლებ- ლო რესურსები	კომპიუტერი, პროექტორი, ციფრული ფოტოაპარატი, ვიდეო კამერა. საიტები:  www.google.net www.google.com www.interes.ge www.wikipedia.org